Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie sur \({\Bbb K}\) et \(u\) un endomorphisme
On dit que \(u\) est semi-simple si tout espace stable par \(u\) admet un supplémentaire stable
(Stabilité d'un sous-espace par une application linéaire)
Propriétés
Trigonalisation et diagonalisation par blocs
Proposition :
Soit \(u\) un endomorphisme semi-simple de \(E\)
Alors on a : $${{u\sim\begin{pmatrix} A&B\\ 0&C\end{pmatrix}}}\implies{{ u\sim\begin{pmatrix} A&0\\ 0&D\end{pmatrix}}}$$
Lien avec la diagonalisation
Proposition :
Si \({\Bbb K}\) est algébriquement clos, alors : $${{u\text{ semi-simple } }}\iff u\text{ diagonalisable}$$
(Matrice diagonalisable)
Lien avec le polynôme minimal
Caractérisation :
L'endomorphisme \(u\) est semi-simple \(\iff\) son polynôme minimal est sans facteur carré
(Polynôme minimal)
